​基于MCTS和Residual-EBM的数学推理能力提升实践

©PaperWeekly 原创 · 作者 | 许皓天

导读

LLM 在 NLP 以及 ai-agent 等场景展现出了巨大的应用潜力，并且在复杂推理任务如 math 等任务极大提升了模型性能。

近期，基于 llama2 的 RFT [1] 以及 wizard-math [2] 等通过 rejection-sampling、RLEIF（从 Evol-Instruct 反馈中强化学习（RLEIF）等提升了开源模型的数学能力。比如，wizard-math 使用 Evol-instruct 构造更多量的 SFT 数据，并且引入基于 chatgpt 的过程打分、结果打分的 reward 建模和 PPO 等，使得开源模型能够与闭源模型如 chatgpt 等相当。

然而，这些方法主要通过构造更多的数据实现效果的提升。我们认为，底座模型已经具备一定的推理能力，但缺少有效的采样方法。传统采样方法如 greedy-decoding、beam-search 等均是根据当前 token 的输出概率进行采样，缺少全局评估反馈。这种局部 token 采样的方法，极大限制了模型性能。

为此，我们提出了基于 Residual-EBM [3] 和 MCTS [5] 的方法，在微调好的模型上，使用 EBM 和 MCTS 采样，初步实验显示，该方法能极大提升微调好的模型的数学能力，而不需要使用额外数据重新训练或者 RLHF 等对齐方法。

Residual-EBM and PPO

Residual-EBM [3] 构建了一个基于自回归模型的能量语言模型，可以有效降低 exposure bias。同时，[4] 也指出，PPO+KL-divergence 是边际分布的变分近似，而其最优解为：

这里，我们可以看到最优解与 Residual-EBM [3] 有着类似形式：

这里， 为输入序列如 prompt， 为输出序列。我们可以看到，Residual-EBM 等价于自回归语言模型与句子级别的能量模型的乘积。而  通过全局能量模型对输出句子打分，从而降低模型的 exposure bias。

MCTS

MCTS [5] 是一种解决高维推理问题强有力的工具，在诸如 alpha-go、游戏 ai 等均有应用。近期，TOT [6] 等工作提出了基于树搜索的 COT 算法，提升复杂推理问题的解决能力。这些方法通过使用 BFS、DFS 等搜索算法实现 exploration，并且使用 chatgpt 等接口对中间过程进行打分。[7] 也提出了类似的算法但使用不同的排序函数，实现更高的推理能力。

然而，这些方法均使用了确定性的探索方法如 BFS 等，缺少高效探索。同时，路径打分和排序都需要较为强大的模型如 chatgpt 进行评估。

相比之前的方法，MCTS 能够具备更好的复杂空间探索能力，是解决复杂决策或者组合问题的 SOTA。然而，为了应用 MCTS，依然需要训练一个 task-specific的打分模型，对潜在的决策路径打分。[7][8][9] 均提出了不同的路径打分模型。这些路径打分模型依赖一定量的标注数据，在 sample-then-rank 的设置下，[8][9] 的打分模型并没有对结果带来显著提升。也从一定程度说明，这些打分函数很难很好的评估输出路径。

NCE

从 Residual-EBM 以及 MCTS 的基本介绍我们可以看到，我们可以使用能量函数可以对完整句子打分并作为 MCTS 的路径评分函数。为了优化能量模型，我们使用 Noise Contrastive Estimation（NCE）[10] 优化。得益于 Residual-EBM 的形式，最终的优化目标函数如下：

具体推导过程可以参考 [10]。这里，K 为负样本数量。

我们的方法

5.1 能量模型参数估计

我们将训练好的 SFT 模型作为基础模型，并使用 Residual-EBM 的形式得到最终的采样模型。为了高效训练能量模型，我们使用 NCE 算法估计（这里，隐含了归一化系数为常数的假设。实际中不一定成立）。

使用 NCE 优化能量模型，我们需要从数据分布和 noise 分布分别采样样本。数据分布为 SFT 训练集。noise 分布为 SFT 模型 [11]。noise 分布可以使用 infilling、reorder 等不同的生成模型建模。使用 SFT 模型是最为简单直接的方案。

NCE 的负样本为从 SFT 模型采样的样本集合。我们考虑了 2 种不同的负样本生成方法。

1. 给定 prompt，多次随机采样。过滤错误答案、过程高度相似的样本 [1]。为了节约采样成本，我们使用 [1] 中提供的样本作为负样本。记作 RFT
2. 给定 prompt 和 suboutput（训练集正确推理路径的前 N 步），生成后续的推理过程。将 suboutput 拼接生成的推理路径作为负样本。记作 suboutput

我们使用 Deberta-large 作为能量模型在 RFT、RFT&suboutput 两个负样本上面完成训练。

5.2 基于MCTS的采样

MCTS 是解决组合问题强有力的武器。然而，文本生成问题，每一个 step 需要对  大小（这里， 是词表大小）的 action 空间采样。极大降低了采样效率。为此，我们将生成的句子作为 MCTS 中的节点，有效降低了 MCTS 的采样成本 [9]。 下图为 MCTS的基本算法流程。具体原理可参考 [5]。

▲ MCTS算法流程

实验结果

我们基于 GSM-8k 以及 LLama2-7b 作为我们的实验数据和基础模型。在 gsm-8k 数据 SFT 模型的基础上，探讨了不同采样方法的效果。评价指标为答案的 acc。我们主要参考并修改了 [9][15][16] 的开源代码。

6.1 基于Residual-EBM的重要性采样

这里，我们对比了 greedy-decoding、self-consistency majority-voting 以及基于同一批采样数据的 Residual-EBM 重要性采样（类 softmax 排序）结果。

从上表可以看到，基于能量模型的采样 [3] 可以有效提升推理效果。pass@1 的 acc 从 41.69 提升到 46.77。基于不同负样本和 noise-ratio 的 NCE 训练也对采样结果有较大的影响。

1. 基于 RFT 的负样本比 RFT+suboutput 的效果更差一些。suboutput 生成的数据与原始数据有更高的重合度，增加了能量模型的学习难度。
2. 当我们增加负样本后（大概一条训练数据样本有 10 条负样本）。noise-ratio 的 NCE 具有更好的判别效果。

6.2 基于MCTS的采样

为了进一步验证 MCTS 的采样效果，我们使用 ebm-RFT&suboutput-noise-ratio=10 的能量模型作为打分模型，对 MCTS-rollout 的样本进行评估。并根据 node-visit 和 node-reward 的最大值（如先看 node-visit 的最大值，如果有多个，则选择 node-reward 最大的）选择 node 作为当前 step 的决策输出路径。最终，我们仅输出一条路径作为最终的推理路径（但 MCTS 迭代会产生很多中间路径）。

从上表可以看到，基于 MCTS+EBM 打分的方法，能够将 pass@1 只有 41.69 的模型提升到 52.23，提升了 10 个点以上。媲美使用 RFT、RLEIF 等使用更多 SFT 数据或者 RL 对齐的方法。也验证了弱模型也能通过更合理的采样方法实现更高的推理效果。从而，在微调好的模型基础上提升模型的推理效果。

基于 RFT 的 EBM 能量模型的 MCTS 采样，由于输出只采样了答案正确的路径，对于 suboutput 的路径判别能力较弱，相比原始的 greedy-decoding、sample-then-rank 有一定提升，但远远差于使用加入 suboutput 的 EBM+MCTS 的效果，也一定程度说明路径打分模型需要更好的适配采样过程。

为了验证 MCTS-EBM 是否能迁移到其它 SFT 模型，我们基于 RFT-7b、RFT-13b 以及 wizard-math-7b 分别应用 mcts+ebm。从上表可以看出，RFT-7b 和 RFT-13b 均是在原始 gsm8k 数据集训练得到，与能量函数的训练数据分布一致。在这两个模型上，我们也能看到较为一致的提升，即 RFT-7b 从 50.30 提升到 56.78，RFT-13b 从 55.40 提升到 61.46。

而 wizard-math 由于引入了强化学习对齐、过程 reward 等等，导致 wizard-math 的训练数据分布与 gsm8k 的数据分布相差较大，所以，我们也能看到，在 wizard-math 上加 mcts-ebm 的采样效果下降较为明显，也间接表明 energy-function 即使在同一个任务但不同的数据格式上的迁移能力会比较弱，未来，需要探索 energy-function 的泛化能力提升方案如使用更多样的 noise-distribution、noise 构造方法等生成更多样的 noise-sample。

MCTS-EBM 在不同的基础 带来的提升不一致，比如底座越弱，带来的提升越明显（如 sft-greedy-decoding 从 41.69 提升到 52.23），而更强的底座如 RFT-7b, RFT-13b 带来的提升越弱，RFT-7b 从 50.30 提升到 56.78，而 RFT-13b 只能从 55.40 提升到 61.48。

总结

本文提出了基于 Residual-EBM 和 MCTS 的采样方法，不需要重新训练模型的条件下，能够提升 GSM-8k 模型的推理效果，将 greedy-decoding 只有 41.69 的 pass@1 acc 提升到 52.23，从而初步验证了“通过更好的采样方法，可以实现弱鸡模型能力的巨大提升”。

本文提出的能量模型训练可以扩展到其它应用场景，通过 SFT/infilling 等不同的方法完成 noise-distribution 的模型训练和采样，从而实现无监督的打分模型训练，降低打分模型的构建成本。同时，该方法构建的打分模型在 sample-then-rank 的设置下，也具有一定的效果提升。

未来，我们也会探讨能量模型在不同数据集、不同任务的迁移能力。其它材料可参考 [12][13][14]。

本文初步验证了 Residual-EBM+MCTS 在不训练模型的条件下，可以极大提升模型的推理效果。然而，MCTS 的采样成本相比直接采样要高很多，从而降低了实际应用价值。另外，我们通过使用 "tiny" 能量模型（deberta-large 相比 llama2-7b，前者已然属于 tiny 模型）打分，也能帮助大模型实现更好的效果。

参考文献

[1] SCALING RELATIONSHIP ON LEARNING MATHEMATICAL REASONING WITH LARGE LANGUAGE MODELS

[2] WizardMath: Empowering Mathematical Reasoning for Large Language Models via Reinforced Evol-Instruct

[3] Residual Energy-Based Models for Text Generation

[4] RL with KL penalties is better viewed as Bayesian inference

[5] Monte Carlo Tree Search: A Review of Recent Modifications and Applications

[6] Deliberate Problem Solving with Large Language Models

[7] Large Language Model as Autonomous Decision Maker

[8] Discriminator-Guided Multi-step Reasoning with Language Models

[9] Solving Math Word Problems via Cooperative Reasoning induced Language Models

[10] https://leimao.github.io/article/Noise-Contrastive-Estimation/

[11] Joint Energy-based Model Training for Better Calibrated Natural Language Understanding Models

[12] https://zhuanlan.zhihu.com/p/648136217

[13] https://zhuanlan.zhihu.com/p/645388566

[14] https://zhuanlan.zhihu.com/p/650438958

[15] https://github.com/NohTow/PPL-MCTS

[16] https://github.com/TianHongZXY/CoRe

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